Née en 1972, Anne Bouvier passe par une classe préparatoire littéraire puis des études théâtrales à l’université Paris IV avant d’intégrer l’École nationale supérieure des arts et techniques du théâtre (Ensatt). Elle achève sa formation au Conservatoire national supérieur d’art dramatique. En 1997, elle fait ses premiers pas sur les planches dans Ruy Blas de Victor Hugo mis en scène par son père Jean-Pierre Bouvier. Par la suite, elle joue principalement dans des pièces du répertoire classique : Richard III et Hamlet de Shakespeare, Le Cid de Corneille, Huis clos de Sartre, Dom Juan de Molière, Le Jeu de l’amour et du hasard de Marivaux… En faisant parfois quelques incursions dans la comédie, avec Du piment dans le caviar de Carole Greep, ou encore Peau de vache de Pierre Barillet et Jean-Pierre Gredy, sous la direction de Michel Fau, en 2016. La même année, elle reçoit le Molière de la comédienne dans un second rôle pour son interprétation de Regan dans Le Roi Lear de Shakespeare et, trois ans plus tard, le Molière de la comédienne du théâtre privé pour son interprétation de Madeleine Béjart dans Mademoiselle Molière. La deuxième partie de la décennie est décidément faste : Anne Bouvier est élue en 2020 présidente du conseil d’administration de la société civile pour l’administration des droits des artistes et musiciens interprètes (Adami).
Depuis peu au cinéma, l’actrice joue dans des films de Diastème (Un Français), Yvan Attal (Ils sont partout ; Les Choses humaines) ou Guillaume Gallienne (Maryline). Depuis 2018, elle apparaît fréquemment dans la série Scènes de ménages diffusée sur M6, où elle incarne Stéphanie. En tant que metteuse en scène, Anne Bouvier défend les auteurs contemporains français, à commencer par Hadrien Raccah, dont elle monte les trois premières pièces (Terminus ; La Dernière Nuit ; Voyage pour Hénoch), ce qui ne l’empêche pas d’adapter Anton Tchekhov (La Dame au petit chien) comme Robert James Waller (Sur la route de Madison). Elle a monté cette année La Maternelle d’Arnaud Gidoin, jouée au Théâtre Tête d’Or à Lyon.